今天介紹向量空間的三個基本概念，基，緯度，和秩。

基

此前我們介紹過線性無關，基的定義正基於此。令 HH 為向量空間 VV 的一個子空間，如果一個 VV 中的向量有序集合 B={b1⃗,⋯ ,bp⃗}\mathcal{B}=\left\{ \vec{b_1}, \cdots, \vec{b_p} \right\} ，滿足下列兩個條件，便稱為 HH 的一個基：

  • B\mathcal{B} 線性無關
  • B\mathcal{B} 張成 HH ，即 H=Span{b1⃗,⋯ ,bp⃗}H = \text{Span}\left\{ \vec{b_1}, \cdots, \vec{b_p} \right\}

以下例為例：

例1：找下列矩陣 AA 的零空間的一個基。

A=[−36−11−71−223−12−458−4]A = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}

SOLUTION

首先得解出 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0} ，找到零空间的特点，再据此做判断。这样有 [A0⃗]∼[1−20−1300012−20000000]\begin{bmatrix} A & \vec{0} \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ，其中：

{x1=2x2+x4−3x5x2 is freex3=−2x4+2x5x4 is freex5 is free\begin{cases} &x_1 = 2x_2+x_4-3x_5\\ &x_2 \text{ is free} \\ &x_3 =-2x_4+2x_5\\ &x_4 \text{ is free}\\ &x_5 \text{ is free} \end{cases}

[x1x2x3x4x5]=[2x2+x4−3x5x2 (free)−2x4+2x5x4 (free)x5 (free)]=x2[21000]+x4[10−210]+x5[−30201]\begin{bmatrix} &x_1&\\ &x_2&\\ &x_3&\\ &x_4&\\ &x_5& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &2x_2+x_4-3x_5&\\ &x_2 \text{ (free)}&\\ &-2x_4+2x_5& \\ &x_4 \text{ (free)}&\\ &x_5 \text{ (free)}& \end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix}&2&\\ &1&\\ &0&\\ &0&\\ &0& \end{bmatrix}+ x_4\begin{bmatrix}&1&\\ &0&\\ &-2&\\ &1& \\ &0& \end{bmatrix}+ x_5\begin{bmatrix}&-3&\\ &0&\\ &2&\\ &0&\\ &1& \end{bmatrix}

注意三個自由變量後面的三個向量線性無關，因為這三個向量都是伴隨著自由變量產生，實際上：

[2x2+x4−3x5x2 (free)−2x4+2x5x4 (free)x5 (free)]=[2x2x2000]+[x40−2x4x40]+[−3x502x50x5]\begin{bmatrix} &2x_2+x_4-3x_5&\\ &x_2 \text{ (free)}&\\ &-2x_4+2x_5& \\ &x_4 \text{ (free)}&\\ &x_5 \text{ (free)}& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}&2x_2&\\ &x_2&\\ &0&\\ &0&\\ &0& \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}&x_4&\\ &0&\\ &-2x_4&\\ &x_4& \\ &0& \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}&-3x_5&\\ &0&\\ &2x_5&\\ &0&\\ &x_5& \end{bmatrix}

對於變量 xix_i ，若它是自由變量，寫成參數向量時，其他向量的第 ii 行一定為 0。故只有 x2,x4,x5x_2, x_4, x_5 全為 0 時，才有上述三個向量的線性組合為零向量。同時，這三個向量很顯然能張成 AA 的零空間，故這三個向量就是 AA 的零空間的一個基。

例2 找到下列矩陣 BB 的列空間一個基。

B=[10−350012−100000100000]B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

有列空間的定義知 Col B=Span {b1,b2,b3,b4,b5}\text{Col } B= \text{Span }\left \{ b_1, b_2, b_3, b_4, b_5 \right \} ，這五個向量並不線性無關，由張成集合定理[1]可知 Span {b1,b2,b3,b4,b5}=Span {b1,b2,b5}\text{Span }\left \{ b_1, b_2, b_3, b_4, b_5 \right \} = \text{Span }\left \{ b_1, b_2, b_5 \right \} 。這樣 b1,b2,b5b_1, b_2, b_5 線性無關，而且張成 Col B\text{Col } B ，所以它就是 Col B\text{Col } B 的一個基。

維度

此處我們討論有限維度向量空間，所謂有限維向量空間指該向量空間可由一些向量集張成。 下面我要討論維度 nn ，它是向量空間子空間的一個固有屬性，即不論在子空間中選取怎樣的基，基的長度都是恆定的，因其不變的屬性，故將其定義為向量空間的子空間的一個量——維度。在這之前我們需要證明幾個定理。

引理 設 v1⃗,⋯ ,vp⃗\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p} 為某一向量空間 VV 的子空間 HH 上線性相關的一組向量，則存在 j∈1,2,⋯ ,pj \in {1,2,\cdots,p} 使：

  1. vj∈Span(v1⃗,⋯ ,vj−1⃗)v_j \in \text{Span}(\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_{j-1}}) （從頭開始檢視向量組，總能找到一個向量可以由前面的若干向量線性表出）；
  2. 從 v1⃗,⋯ ,vp⃗\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p} 中刪掉 vj⃗\vec{v_j} 後依舊可以張成 Span(v1⃗,⋯ ,vp⃗)\text{Span}(\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p}) （Span(v1⃗,⋯ ,vp⃗)=Span(v1⃗,⋯ ,vj−1⃗,vj+1⃗,⋯ ,vp⃗)\text{Span}(\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p}) = \text{Span}(\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_{j-1}}, \vec{v_{j+1}}, \cdots, \vec{v_p})）

Proof.

因 v1⃗,⋯ ,vp⃗\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p} 線性相關，故 ∃a1,⋯ ,ap∈F,a12+⋯+ap2>0\exists a_1,\cdots,a_p \in \mathbb{F}, a_1^2+\cdots+a_p^2 > 0（係數不全為0） s.t. :

a1v1⃗+⋯+apvp⃗=0⃗a_1\vec{v_1} + \cdots + a_p\vec{v_p} = \vec{0}

讓 jj 為 {1,⋯ ,p}\{1,\cdots,p\} 中最大的滿足 aj≠0a_j \neq 0 的，故：

vj⃗=−a1ajv1⃗−⋯−−aj−1ajvj−1⃗\vec{v_j}=-\frac{a_1}{a_j}\vec{v_1}-\cdots--\frac{a_{j-1}}{a_j}\vec{v_{j-1}}

則 1 得證。

接下來只消證明，能用 v1⃗,⋯ ,vp⃗\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p} 線性表出的任意向量也能用 v1⃗,⋯ ,vj−1⃗,vj+1⃗,⋯ ,vp⃗\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_{j-1}}, \vec{v_{j+1}}, \cdots, \vec{v_p} 線性表出。設任意向量 u⃗∈Span(v1⃗,⋯ ,vp⃗)\vec{u} \in \text{Span}(\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p})，即 ∃d1,⋯ ,dp∈F,d12+⋯=dp2>0\exists d_1, \cdots, d_p \in \mathbb{F}, d_1^2 +\cdots = d_p^2 > 0 , s.t.

u⃗=d1v1⃗+⋯=dpvp⃗\vec{u} = d_1\vec{v_1} + \cdots = d_p\vec{v_p}

後把其中 vj⃗\vec{v_j} 項通過上面的式子帶入即可消掉，則 2 得證。

注：選取 j=1j=1 時， v1⃗∈Span()=0⃗\vec{v_1} \in \text{Span}()={\vec{0}} ，故 v1⃗=0⃗\vec{v_1} = \vec{0} 。

定理 一個有限緯度的向量空間的子空間中線性無關的向量列表的長度不大於每個可以張成該向量空間的向量列表的長度。

Proof.

假設 u1⃗,⋯ ,um⃗\vec{u_1}, \cdots, \vec{u_m} 是向量空間 VV 中線性無關的一組向量，並且 Span(w1⃗,⋯ ,wn⃗)=V\text{Span}\left(\vec{w_1}, \cdots, \vec{w_n}\right) = V。

u1⃗,⋯ ,um⃗\vec{u_1}, \cdots, \vec{u_m} 中任意一個向量都可以被 w1⃗,⋯ ,wn⃗\vec{w_1}, \cdots, \vec{w_n} 線性表出，故：

u1⃗,w1⃗,⋯ ,wn⃗\vec{u_1}, \vec{w_1}, \cdots, \vec{w_n}

線性相關。通過上面引理，可刪掉 w1⃗,⋯ ,wn⃗\vec{w_1}, \cdots, \vec{w_n} 中的一個向量（u1⃗\vec{u_1} 不為零向量）後，u1⃗\vec{u_1} 和剩下的諸 w⃗\vec{w} 仍然可以張成 VV。一直重複這個加入 u⃗\vec{u} 和刪除 w⃗\vec{w} 的步驟。現在直接看到最後一步：

um⃗,⋯ ,u1⃗,w⃗⋯\vec{u_m}, \cdots, \vec{u_1}, \vec{w} \cdots

因 um−1⃗,⋯ ,u1⃗\vec{u_{m-1}},\cdots, \vec{u_1} 和諸 w⃗\vec{w} 仍可張成 VV，故 um⃗\vec{u_m} 還可以由其線性表出，但 u1⃗,⋯ ,um⃗\vec{u_1}, \cdots, \vec{u_m} 線性無關，此刻若無 w⃗\vec{w} 的幫忙，會引發矛盾。故只好有 n≥mn \geq m 。

現在可以證明向量空間子空間的任意基的長度相等了。

定理 有限唯獨的向量空間的子空間的任意兩個基有相同的長度。

Proof.

假設向量空間 VV 為有限維有一子空間 HH，B1\mathcal{B_1} 和 B2\mathcal{B_2} 為 HH 的兩個基。

  1. B1\mathcal{B_1} 是 VV 中線性無關的一組向量， B2\mathcal{B_2} 能張成 HH，故 B1\mathcal{B_1} 的長度不小於 B2\mathcal{B_2}（據上定理）；
  2. B2\mathcal{B_2} 是 VV 中線性無關的一組向量， B1\mathcal{B_1} 能張成 HH，故 B2\mathcal{B_2} 的長度不小於 B1\mathcal{B_1}（據上定理）；

所以 B1\mathcal{B_1} 和 B2\mathcal{B_2} 的長度相等。現在定義向量空間的維度：

定義 有限維向量空間的子空間的任意基的長度是該向量空間的維度，記為 dimV\text{dim}V。

秩和零度

定義 矩陣 AA 的秩是 AA 列空間的維度，記為 rankA\text{rank}A。

例 求下列矩陣的秩：

A=[−36−11−71−223−12−458−4]A = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}

SOLUTION

先求 AA 的列空間，將 AA 化為階梯形。

A∼[1−20−130012−200000]A \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

AA 有兩個主元，故 rankA=2\text{rank}A=2。

定義 矩陣 AA 的零度是 AA 零空間的維度，記為 nullA\text{null}A。

例 求下列矩陣的零度：

A=[−36−11−71−223−12−458−4]A = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}

SOLUTION：

先解 Ax⃗=0⃗A\vec{x}=\vec{0}，即化解 [A0⃗]\begin{bmatrix} A & \vec{0} \end{bmatrix} ，有 [A0⃗]∼[1−20−1300012−20000000]\begin{bmatrix} A & \vec{0} \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，故：

[x1x2x3x4x5]=[2x2+x4−3x5x2 (free)−2x4+2x5x4 (free)x5 (free)]=x2[21000]+x4[10−210]+x5[−30201]\begin{bmatrix} &x_1&\\ &x_2&\\ &x_3&\\ &x_4&\\ &x_5& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &2x_2+x_4-3x_5&\\ &x_2 \text{ (free)}&\\ &-2x_4+2x_5& \\ &x_4 \text{ (free)}&\\ &x_5 \text{ (free)}& \end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix}&2&\\ &1&\\ &0&\\ &0&\\ &0& \end{bmatrix}+ x_4\begin{bmatrix}&1&\\ &0&\\ &-2&\\ &1& \\ &0& \end{bmatrix}+ x_5\begin{bmatrix}&-3&\\ &0&\\ &2&\\ &0&\\ &1& \end{bmatrix}

前文論證過 {[21000],[10−210],[−30201]}\left\{ \begin{bmatrix}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}1\\ 0\\ -2\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right\} 為 AA 零空間的一個基，故 nulA=3\text{nul} A=3。可見零度等於矩陣 AA 非主元的個數。

秩-零化度定理

對於矩陣 Am×nA_{m\times n}：

rankA+nullA=n\text{rank}A+\text{null}A=n

因秩表示 AA 主元的個數，零度表示 AA 非主元的個數，加在一起即為 AA 的列數。

  1. 令 S={v1⃗,⋯ ,vp⃗}S=\left\{\vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p}\right\} 為 VV 中的一個集合，且令 H=Span{v1⃗,⋯ ,vp⃗}H=\text{Span}\left\{ \vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p} \right\} 。若 SS 中某一個向量 vk⃗\vec{v_k} 是 SS 中其他向量的線性組合，那麼把 vk⃗\vec{v_k} 從 SS 中去掉之後， 著p−1p-1 個向量依舊能張成 HH ，即 H=Span{v1⃗,⋯ ,vp⃗}=Span{v1⃗,⋯ ,vk−1⃗,vk+1⃗,⋯ ,vp⃗}H=\text{Span}\left\{ \vec{v_1}, \cdots, \vec{v_p} \right\} = \text{Span}\left\{ \vec{v_1}, \cdots, \vec{v_{k-1}}, \vec{v_{k+1}}, \cdots, \vec{v_p} \right\} ；當 H≠{0⃗}H \ne \left\{\vec{0} \right\} 時，SS 的某一子集為 HH 的基，即 SS ； ↩︎