夾逼定理在簡單證明中的作用

本文介紹一個極限中重要定理——夾逼定理，並介紹其在一些定理中證明的作用。

前置知識：

• 函數極限的 $\varepsilon-\delta$ 定義

定理及證明

夾逼定理 在同一個極限過程中， $f(x), g(x), h(x)$ 均有定義，且 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，若 $\lim g(x)=\lim h(x)=A$ ，則 $\lim f(x)=A$ 。

Proof.

以 $x\to x_0$ 為例，根據定義寫出 $g(x), h(x)$ 收斂的定義，然後想辦法把 $f(x)$ 放進去。

$\forall \varepsilon>0$

$\exists\delta_1>0$ ，當 $\lvert x-x_o\rvert <\delta_1$ 時，有 $\lvert g(x)-A \rvert < \varepsilon$ ，即 $A-\varepsilon< g(x)< A+\varepsilon$

$\exists\delta_2>0$ ，當 $\lvert x-x_o\rvert <\delta_2$ 時，有 $\lvert h(x)-A \rvert < \varepsilon$ ，即 $A-\varepsilon< h(x)< A+\varepsilon$

取 $\delta=\max{(\delta_1,\delta_2)}$ ，上面兩個極限過程都達到條件，故當 $\lvert x-x_o\rvert <\delta$ 時，上面二式均成立，即：

$A-\varepsilon< g(x) \le f(x) \le h(x)< A+\varepsilon$

即：

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$

證明一個重要極限

先考慮下面的幾何圖型，對於弧度表示的角 $x$ ，有以下不等式成立：

$\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x = \frac{1}{2}\frac{\sin x}{\cos x}$

即：

$\sin x < x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \,\, \forall x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$

即：

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \\ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

再考慮

${\lim_{x\to x_0}}\cos x=\cos x_0$

對於 $\forall \varepsilon>0$，$\exists\delta>0$ ，當 $\lvert x-x_o\rvert <\delta$ 時 ，

$\begin{aligned} \lvert \cos x-\cos x_0 \rvert &= \lvert -2\sin \frac{x-x_0}{2}\sin \frac{x+x_0}{2} \rvert \qquad \text{和差化積} \\ &= 2\lvert \sin \frac{x-x_0}{2} \rvert \\ &=2 \lvert\frac{x-x_0}{2}\rvert \\ &= \lvert x-x_0\rvert < \delta \end{aligned}$

則：

$\lim_{x \to 0}\cos x =\cos 0 = 1$

而：

$\lim_{x\to 0}1=1$

故：

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

證明微積分基本定理