一維連續型隨機變量中最重要的便是正態分佈，其密度函數為：

f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2(−∞<x<∞)∼N(μ,σ2)f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\displaystyle -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\quad (-\infty < x < \infty) \sim N(\mu, \sigma^2)

此時稱 r.v. X 服從正態分佈（常態分佈，高斯分佈），它有兩個參數：平均數 μ\mu，方差 σ2\sigma^2 。

需要證明 f(x)f(x) 確實可以作為一個概率密度。為此，需驗證 f(x)≥0f(x)\ge 0，以及 ∫−∞∞f(x)dx=1\displaystyle \int^{\infin}_{-\infin}f(x)dx=1。前者显然。為證明後者，作積分換元 t=x−μσ，x=σt+μ,dx=σdt\displaystyle t=\frac{x-\mu}{\sigma}， x=\sigma t+\mu, dx=\sigma dt ，轉而證明：

∫−∞∞e−t22dt=2π\int^{\infty}_{-\infty}e^{\displaystyle -\frac{t^2}{2}}dt = \sqrt{2\pi}

該廣義積分轉換積分上下界對稱，考慮用函數奇偶性簡化積分，並記成定積分的極限：

=2lim⁡R→+∞∫0Re−t22dt=2\lim_{R\to +\infin}\int^{R}_{0}e^{\displaystyle -\frac{t^2}{2}}dt

記：

I=∫0Re−t22dtI = \int^{R}_{0}e^{\displaystyle -\frac{t^2}{2}}dt

原式=lim⁡R→+∞2I=\displaystyle\lim_{R\to +\infin}2I。

e−t22\displaystyle e^{\displaystyle-\frac{t^2}{2}} 的原函數並不好求，因此我們不考慮用定積分求取，考慮將其平方後轉換為二重積分。

I2=∫0Re−t22dt∫0Re−t22dt=∫0Re−t22dt∫0Re−u22du（兩個積分是獨立的積分變量）=∬De−t2+u22dtduD:{0≤t≤R,  0≤u≤R}\begin{aligned} I^2 &= \int^{R}_{0}e^{\displaystyle -\frac{t^2}{2}}dt\int^{R}_{0}e^{\displaystyle -\frac{t^2}{2}}dt\\ &=\int^{R}_{0}e^{\displaystyle -\frac{t^2}{2}}dt\int^{R}_{0}e^{\displaystyle -\frac{u^2}{2}}du \quad\mathrm{（兩個積分是獨立的積分變量）}\\ &=\iint\limits_De^{\displaystyle -\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \quad D:\left\{ 0 \le t\le R,\,\,0 \le u\le R\right\} \end{aligned}

complex_plane

被積函數有 t2+u2t^2+u^2 考慮用極座標計算。因為區域 DD 輪換對稱，將其據 y=xy=x 一分為二。

∬De−t2+u22dtduD:{0≤t≤R,  0≤u≤R}=2∬D2e−t2+u22dtdu=2∬D2e−r22rdrdθ=2∫0π/4dθ∫0R/cos⁡θe−r22rdr\begin{aligned} &\iint\limits_D e^{\displaystyle-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \quad D:\left\{ 0 \le t\le R,\,\,0 \le u\le R\right\} \\ =& 2\iint\limits_{D_2} e^{\displaystyle-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \\ =& 2\iint\limits_{D_2} e^{\displaystyle-\frac{r^2}{2}}rdrd\theta \\ =& 2\int_{0}^{\pi/4}d\theta\int^{R/\cos\theta}_{0}e^{\displaystyle-\frac{r^2}{2}}rdr \end{aligned}

第一次積分還可以解出結果，但是第二次積分無法計算。此計算中的不變來自於積分區域不是圓域，導致第一次積分的上界較為複雜。如果積分區域是以 RR 為半徑的 1/41/4 圓就能很方便，但是此區域積分的結果比原積分要小，可以很輕易構造出一個半徑為 2R\sqrt{2} R 的 1/41/4 圓，此積分區域上的積分結果比原積分大。由於廣義積分帶有極限，因此考慮用夾逼定理。

#

由於 D1⊂D⊂D2D_1 \subset D \subset D_2，有

lim⁡R→+∞∬D1e−t2+u22dtdu<lim⁡R→+∞I2<lim⁡R→+∞∬D2e−t2+u22dtdu\begin{aligned} \lim_{R\to +\infin}\iint\limits_{D_1}e^{\displaystyle -\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu < \lim_{R\to +\infin}I^2 < \lim_{R\to +\infin}\iint\limits_{D_2}e^{\displaystyle -\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \end{aligned}

左邊：

lim⁡R→+∞∬D1e−t2+u22dtdu=lim⁡R→+∞∬D1e−r22rdrdθ=lim⁡R→+∞∫0π/2dθ∫0Re−r2/2dr2/2=lim⁡R→+∞π2[1−e−R2/2]=π2\begin{aligned} \lim_{R\to +\infin}\iint\limits_{D_1}e^{\displaystyle -\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu &=\lim_{R\to +\infin}\iint\limits_{D_1}e^{\displaystyle -\frac{r^2}{2}}rdrd\theta \\ &=\lim_{R\to +\infin}\int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{0}^{R}e^{\displaystyle -r^2/2}dr^2/2 \\ &= \lim_{R\to +\infin} \frac{\pi}{2}\left[ 1- e^{\displaystyle -R^2/2} \right] \\ &=\frac{\pi}{2} \end{aligned}

右邊：

lim⁡R→+∞∬D2e−t2+u22dtdu=lim⁡R→+∞∬D2e−r22rdrdθ=lim⁡R→+∞∫0π/2dθ∫02Re−r2/2dr2/2=lim⁡R→+∞π2[1−eR2]=π2\begin{aligned} \lim_{R\to +\infin}\iint\limits_{D_2}e^{\displaystyle -\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu &=\lim_{R\to +\infin}\iint\limits_{D_2}e^{\displaystyle -\frac{r^2}{2}}rdrd\theta \\ &=\lim_{R\to +\infin} \int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}R}e^{\displaystyle -r^2/2}dr^2/2 \\ &= \lim_{R\to +\infin} \frac{\pi}{2} \left[ 1- e^{\displaystyle R^2} \right] \\ &=\frac{\pi}{2} \end{aligned}

由夾逼定理：

lim⁡R→+∞I2=π2\lim_{R\to +\infin}I^2=\frac{\pi}{2}

故：

lim⁡R→+∞I=2π2\lim_{R\to +\infin}I=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}

原式：

lim⁡R→+∞2I=2π\lim_{R\to +\infin}2I=\sqrt{2\pi}